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2012年全国硕士研究生考试《数学》(二)真题及答案
[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200606/20200606144217_66480.png" width="500" height="111" alt="" />
[br] 已知[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200609/20200609205947_22249.png" width="100" height="98" alt="" /> ，二次型 [img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200609/20200609210015_17509.png" alt="" />的秩为 2， (I) 求实数 a的值； (II) 求正交变换 x=Qy 将f 化为标准形 .[br]
设[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200609/20200609210133_51971.png" width="200" height="114" alt="" /> (I) 计算行列式 A ； (II) 当实数a为何值时，方程组[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200609/20200609210158_70046.png" alt="" />有无穷多解，并求其通解
证明方程 x x x 1 n n-1 + n 1的整数 ，在区间 1 ,1 2 内有且仅有一个实根； (II) 记(I) 中的实根为 xn，证明 lim n n x 存在，并求此极限[br] [img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200606/20200606143407_36959.png" alt="" />
[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200606/20200606143056_46417.png" alt="" />
已知函数 f ( x) 满足方程 f (x) f (x) 2 f (x) 0 及 ( ) ( ) 2 x f x f x e , (I) 求 f (x) 的表达式 (II) 求曲线 2 2 0 ( ) ( )d x y f x f t t 的拐点.[br] [img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200606/20200606142835_21147.png" alt="" /> [br] [img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200606/20200606142848_99724.png" alt="" />
计算二重积分 d D xy ，其中区域 D为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.[br] [img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200606/20200606135540_40838.png" alt="" />
过(0,1)点作曲线L:y=lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605185820_80464.png" alt="" />
已知函数 1 1 sin x f x x x ，记 0 lim x a f x ， (I) 求 a 的值 (II) 若 x 0 时， f x a 与 k x 是同阶无穷小，求常数 k 的值 . [img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605185612_90579.png" alt="" />
设 A 为3阶矩阵， |A| =3 ，*A 为 A 伴随矩阵，若交换 A 的第 1行与第 2行得矩阵 B ，则|BA|=（）
img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605185202_37545.png" alt="" />
img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605185031_33450.png" alt="" />
img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605184826_64981.png" alt="" />
[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605184515_59099.png" alt="" />
设 y =y(x) 是由方程[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605184133_22435.png" alt="" style="white-space:normal;" />所确定的隐函数，则 [img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605184155_93075.png" alt="" style="white-space:normal;" />.=
设[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605183606_14762.png" alt="" />,其中[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605183624_25108.png" alt="" />为任意常数，则下列向量组线性相关的为()
设区域D由曲线[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605182847_66681.png" alt="" />围成，则[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605182913_95972.png" alt="" />
设函数 f (x, y)为可微函数，且对任意的 x, y 都有[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605180927_43035.png" alt="" />则使不等式[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605180945_31381.png" alt="" /> 成立的一个充分条件是
设[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605180718_34094.png" alt="" />，则数列 sn 有界是数列 an 收敛的（）
设函数[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605180305_32986.png" alt="" />，其中n为正整数,则f'(0)=()
曲线[img src="https://img.haodaxue.net/uploadimg/image/20200605/20200605180002_37534.png" width="80" height="45" alt="" />的渐近线条数()
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